経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
LeChatelierの原理
【問】 ${\pi}_L(p)=py_L(p)$を長期の利潤関数．
${\pi}_S(p,z)$を短期の利潤関数とする．
このとき，長期の供給曲線の方が短期の供給曲線に次の関係が生じることを示せ（価格軸$p$を縦軸に取ると，傾きが緩い．すなわち，長期の供給曲線の方が，短期の供給曲線より価格によく反応する）ことを示せ．
【解答】
$z(p)$を${\pi}_L(p)={\pi}_S(p,z(p))$を満たすものとする．また価格$p^*$に対して，$z^*=z(p^*)$とする．
\[
h(p)={\pi}_L(p)-{\pi}_S(p,z^*)={\pi}_S(p,z(p))-{\pi}_S(p,z^*)\geq 0
\]
となる．
$h$は$p=p^*$で最小値$0$になる．従って$2$次の条件から，
\[
\dfrac{h(p^*)}{dp}=\dfrac{{\partial}^2 {\pi}_L(p^*)}{\partial p^2}-\dfrac{{\partial}^2 {\pi}_S(p^*,z^*)}{\partial p^2}\geq 0
\]
となる．Hotellingの補題から
\begin{align*}
y_L(p)&=\dfrac{d {\pi}_L(p^*)}{dp}\\
y_S(p)&=\dfrac{d {\pi}_S(p^*,z^*)}{dp}\\
\end{align*}
なので，
\[
\dfrac{d y_L(p^*)}{dp}-\dfrac{d y_S(p^*,z^*)}{dp}=\dfrac{d {\pi}_L(p^*)}{dp}-\dfrac{d {\pi}_S(p^*,z^*)}{dp}\geq 0.
\]
【解答終】
【Further Reading】
Hal R. Varian ‘Microeconomic Analysis; Third Edition,’ W.W.Norton & Company (1992)
神取道宏『ミクロ経済学の力』日本評論社（2014）
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