経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
分散・共分散とポートフォリオのリスク．【『経出る』p.188 ちょっとメモ】（作成：2015.11.21）
データ$X$：$x_1, x_2, \ldots x_n$の平均を$\bar{x}$，
データ$Y$：$y_1, y_2, \ldots y_n$の平均を$\bar{y}$としたとき，あらたにベクトルを
\[
\tilde{\bf x}=
\left(
\begin{array}{c}
x_1-\bar{x}\\
x_2-\bar{x}\\
\vdots\\
x_n-\bar{x}\\
\end{array}
\right)，
\quad
\tilde{\bf y}=
\left(
\begin{array}{c}
y_1-\bar{y}\\
y_2-\bar{y}\\
\vdots\\
y_n-\bar{y}\\
\end{array}
\right)
\]
とおく．このとき，内積$\dfrac{\tilde{\bf x} \cdot \tilde{\bf x}}{n}$を$X$の分散，$\dfrac{\tilde{\bf y} \cdot \tilde{\bf y}}{n}$を$Y$の分散，
$\dfrac{\tilde{\bf x} \cdot \tilde{\bf y}}{n}$を$X$と$Y$の共分散という．
【問】 次のデータを用いて分散・共分散を求めなさい
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
データ＃&X_1&X_2&X_3\\\hline
＃1&6&16&10 \\\hline
＃2&4&12&12 \\\hline
＃3&8&8&6 \\\hline
＃4&10&4&8 \\\hline
\end{array}
\]
【解答】
- 【前処理１：平均】
- $\bar{x_1}=\dfrac{6+4+8+10}{4}=7$
- $\bar{x_2}=\dfrac{6+4+8+10}{4}=10$
- $\bar{x_3}=\dfrac{10+12+6+8}{4}=9$
- 【前処理２：偏差】
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
偏差＃&X_1-\bar{x_1}&X_2-\bar{x_2}&X_3-\bar{x_3}\\\hline
＃1&6-7=-1&16-10=6&10-9=1 \\\hline
＃2&4-7=-3&12-10=2&12-9=3 \\\hline
＃3&8-7=1&8-10=-2&6-9=-3 \\\hline
＃4&10-7=3&4-10=-6&8-9=-1 \\\hline
\end{array}
\]
- 【分散・共分散の計算】次のように並べたい：
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
分散・共分散&X_1&X_2&X_3\\\hline
X_1&{\sigma}^2_{1}&{\sigma}_{12}&{\sigma}_{13} \\\hline
X_2&{\sigma}_{21}&{\sigma}^2_{2}&{\sigma}_{23} \\\hline
X_3&{\sigma}_{31}&{\sigma}_{32}&{\sigma}^2_{3} \\\hline
\end{array}
\]
- $\sigma^2_{1}=\dfrac{(X_1-\bar{x_1})\cdot (X_1-\bar{x_1})}{4}
=\dfrac{(-1)(-1)+(-3)(-3)+1\cdot 1+ 3\cdot 3}{4}
=\dfrac{20}{4}=5$
- $\sigma^2_{2}=\dfrac{(X_2-\bar{x_2})\cdot (X_2-\bar{x_2})}{4}
=\dfrac{6\cdot 6+2\cdot 2+(-2)(-2)+ (-6)(-6)}{4}
=\dfrac{80}{4}=20$
- $\sigma^2_{3}=\dfrac{(X_2-\bar{x_2})\cdot (X_2-\bar{x_2})}{4}
=\dfrac{1\cdot 1+3\cdot 3+(-3)(-3)+ (-1)(-1)}{4}
=\dfrac{20}{4}=5$
- $\sigma_{12}=\sigma_{21}
=\dfrac{(X_1-\bar{x_1})\cdot (X_2-\bar{x_2})}{4}
=\dfrac{(-1)\cdot 6+(-3)(-2)+1\cdot (-2)+ 3\cdot (-6)}{4}
=\dfrac{-32}{4}=-8$
- $\sigma_{13}=\sigma_{31}
=\dfrac{(X_1-\bar{x_1})\cdot (X_3-\bar{x_3})}{4}
=\dfrac{(-1)\cdot 1+(-3)\cdot 3+1\cdot (-3)+ 3\cdot (-1)}{4}
=\dfrac{-16}{4}=-4$
- $\sigma_{23}=\sigma_{32}
=\dfrac{(X_2-\bar{x_2})\cdot (X_3-\bar{x_3})}{4}
=\dfrac{6\cdot 1+2\cdot 3+(-2)\cdot (-3)+ (-6)\cdot (-1)}{4}
=\dfrac{24}{4}=6$
すなわち
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
分散・共分散&X_1&X_2&X_3\\\hline
X_1&5&-8&-4 \\\hline
X_2&-8&20&6\\\hline
X_3&-4&6&5 \\\hline
\end{array}
\]
【解答終】
【メモ】
次のデータからポートフォリオを構成する．
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
銘柄&X_1&\ldots &X_n\\\hline
投資比率&x_1&\cdots &x_n \\\hline
第1期&r_{11}&\cdots &r_{1n}\\\hline
第2期&r_{21}&\cdots &r_{2n}\\\hline
\vdots & \vdots & &\vdots\\\hline
第N期&r_{N1}&\cdots &r_{Nn}\\\hline
\end{array}
\]
このとき，ポートフォリオ$X_P=x_1X_1+\cdots x_nX_n$について，
-
【平均】$r_P=r_1x_1+\cdots r_nx_n$
-
【分散】
\[
\begin{align}
{\sigma}_P^2&=(偏差)^2の平均\\
&=\dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\Bigl(\sum_{j=1}^{n}(r_{ij}-r_j)xj\Bigr)^2\\
&=\dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}(r_{ij}-r_j)(r_{ik}-r_k)x_jx_k\\
&=\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\Bigl[\sum_{i=1}^{N}\dfrac{1}{N}(r_{ij}-r_j)(r_{ik}-r_k)\Bigr]x_jx_k\\
&=\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}{\sigma}_{jk}x_jx_k\\
&=\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&x_1&\cdots &x_n\\\hline
x_1&{\sigma}^2_{1}&\cdots &{\sigma}_{1n} \\\hline
\vdots &\vdots& &\vdots\\\hline
x_n&{\sigma}_{n1}&\cdots &{\sigma}^2_{n} \\\hline
\end{array}
\end{align}
\]
マーコビッツのMVモデルは次の最適化問題である．
\[
\begin{align}
\max_{x_1, \ldots ,x_n}& {\sigma}_P(x_1, \ldots ,x_n)\\[2ex]
s.t. \quad & r_1x_1+\cdots r_nx_n=\rho\\[2ex]
& x_1+\cdots x_n=1.
\end{align}
\]
数値例を使って，ＭＶモデルを解く問題がここにある．
【メモ終】
【Further Reading】
今野浩『理財工学Ｉ』日科技連（1995）
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