経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

ポートフォリオ最適化問題をラグランジュの未定乗数法で解く【『経出る』7.5節】

マーコビッツのMVモデルをラグランジュの未定乗数法で解く問題．基本的なソースは今野浩『理財工学Ｉ』日科技連（1995）だが，完全にパクるのはまずいので（笑），数値例をひねり出してみた．（作成：2015.11.20）

【問】　ラグランジュの未定乗数法を使って，次の最小化問題を解きなさい． \begin{align} \min_{x_1,x_2,x_3}& V(x_1,x_2,x_3)=5x_1^2+20x_2^2+5x_3^2-16x_1x_2-8x_1x_3+12x_2x_3\\[2ex] s.t. \quad & 7x_1+10x_2+9x_3=9\\[2ex] &x_1+x_2+x_3=1 \end{align}

1. ラグランジュ関数を作ると， \[ {\cal L}(x_1,x_2,x_3,\lambda ,\mu)=5x_1^2+20x_2^2+5x_3^2-16x_1x_2-8x_1x_3+12x_2x_3 +\lambda (9-7x_1-10x_2-9x_3) +\mu (1-x_1-x_2-x_3)． \]


2. 各変数で偏微分してイコールゼロとおくと， \[ \left\{ \begin{align} 0=&10x_1-16x_2-8x_3-7\lambda - \mu \qquad (1)\\[2ex] 0=&-16x_1+40x_2+12x_3-10\lambda - \mu \qquad (2)\\[2ex] 0=&-8x_1+12x_2+10x_3-9\lambda - \mu\qquad (3)\\[2ex] 0=&1-x_1-x_2-x_3\qquad (4)\\[2ex] 0=&9-7x_1-10x_2-9x_3\qquad (5) \end{align} \right. \]


3. 連立１次方程式なので，基本，中学生でも解けるはず．$\lambda$と $\mu$を(1)〜(3)式を用いてまず消去する．
   • $(1)-(2)$より \[ 26x_1-56x_2-20x_3+3\lambda =0\qquad (6) \]
   • $(3)-(2)$より \[ 8x_1-28x_2-2x_3+\lambda =0\qquad (7) \]
   • $(6)-(7)\times 3$より \[ 2x_1+28x_2-14x_3=0\quad \Rightarrow　x_1+14x_2-7x_3=0\qquad (8) \]
   • いっぽう，$(5)-(4)\times 9$より \[ 2x_1-x_2=0\quad \Rightarrow　x_2=2x_1\qquad (9) \]
   • さらに，$(8)-(4)\times 7$より \[ 8x_1+21x_2-7=0\quad (10) \]
   • $(10)$に$(9)$を代入して， \[ 8x_1+21(2x_1)-7=0\quad \Rightarrow　50x_1=7. \]
   したがって，$x_1=\dfrac{7}{50}$，$x_2=\dfrac{14}{50}$， $x_3=\dfrac{29}{50}$．