経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
最適広告支出：ドーフマン・スタイナーの最適広告費定理
【問】 独占企業が次のような利潤式に直面しているとする．
\[
{\pi}(p,a)=pD(p,a)-cD(p,a)-ta
\]
ここで$D(p,a)$は逆需要関数，$c$は生産の限界費用，
$t$は広告の$1$単位当たりの費用とする．
このとき，最適性条件を弾力性条件を用いて，示しなさい．
【解答】
$1$階条件から，
\begin{align*}
0&=\dfrac{\partial {\pi}}{\partial p}(p,a)=D(p,a)+(p-c)\dfrac{\partial D}{\partial p} \tag{1}\\
0&=\dfrac{\partial {\pi}}{\partial a}(p,a)=(p-c)\dfrac{\partial D}{\partial a}-t \tag{2}\\
\end{align*}
(1)式から
\[
p-c=-\dfrac{D(p,a)}{\dfrac{\partial D}{\partial p}}
\]
$p$で割るとラーナー指数（マークアップ率）が得られる．
\[
\dfrac{p-c}{p}=-\dfrac{D(p,a)}{\dfrac{\partial D}{\partial p}p}=-\dfrac{1}{{\epsilon}_d}
\]
(2)式から
\[
(p-c)\dfrac{\partial D}{\partial a}=t
\]
となるが，$\dfrac{a}{pD(p,a)}$を両辺にかけると，
\[
\dfrac{(p-c)}{p}\dfrac{\partial D}{\partial a}\dfrac{a}{D(p,a)}=\dfrac{ta}{pD(p,a)}
\]
${\epsilon}_a=\dfrac{\partial D}{\partial a}\dfrac{a}{D(p,a)}$なので，次を得る．
\[
-\dfrac{{\epsilon}_a}{{\epsilon}_d}=\dfrac{ta}{pD(p,a)}
\]
【解答終】
【メモ】
売上高$pD(p,a)$に占める広告支出$ta$の最適比率は，
需要の広告弾力性と，需要の価格弾力性の比になることを示している．
【メモ終】
【Further Reading】
西村淳一・山内勇『産業組織論への招待』新世社（2025)
ドーフマン・スタイナーの最適広告費定理
ふろく（２）応用問題 一覧へ