経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
最適広告支出：コブ＝ダグラス関数
【問】 独占企業が次のような利潤式に直面しているとする．
\[
{\pi}(p,a)=pD(p,a)-cD(p,a)-ta
\]
ここで$D(p,a)$は逆需要関数，$c$は生産の限界費用，
$t$は広告の$1$単位当たりの費用とする．
需要関数がコブ＝ダグラス型，$D(p,a)=p^{-{\alpha}}a^{\beta}$であるとする．
この時，需要の価格弾力性${{\epsilon}_d}$，および広告の価格弾力性${{\epsilon}_a}$
を求めよ．
【解答】
ドーフマン・スタイナーの最適広告費定理から
\[
-\dfrac{{\epsilon}_a}{{\epsilon}_d}=\dfrac{ta}{pD(p,a)}
\]
であるが，
\[
\dfrac{\partial D}{\partial p}=-{\alpha}p^{-{\alpha}-1}a^{\beta}
\]
であるので，
\[
{{\epsilon}_d}=\dfrac{\dfrac{\partial D}{\partial p}p}{D(p,a)}=\dfrac{-{\alpha}p^{-{\alpha}-1}a^{\beta}p}{p^{-{\alpha}}a^{\beta}}=-{\alpha}
\]
また，
\[
\dfrac{\partial D}{\partial a}={\beta}p^{-{\alpha}}a^{{\beta}-1}
\]
であるので，
\[
{{\epsilon}_a}=\dfrac{\dfrac{\partial D}{\partial a}a}{D(p,a)}=\dfrac{{\beta}p^{-{\alpha}}a^{{\beta}-1}a}{p^{-{\alpha}}a^{\beta}}={\beta}
\]
従って，
\[
\dfrac{ta}{pD(p,a)}=-\dfrac{{\epsilon}_a}{{\epsilon}_d}=\dfrac{\beta}{\alpha}
\]
【解答終】
【メモ】
売上高$pD(p,a)$に占める広告支出$ta$の最適比率が一定値になることを示している．
【メモ終】
【Further Reading】
Jean Tirole ‘The Theory of Industrial Organization’ The MIT Press（1988)
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