経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
準凸関数と微分
【問】
関数 $f:{\mathbb R}^n \to {\mathbb R}$ に対し，次は同値であることを示しなさい．
(1) $f(x)$は準凸関数
(2) 任意の$x,y$に対し，$f(y)\leq f(x)$ならば$\langle \nabla f(x), y-x \rangle \leq 0$
【解答】
(1) $\Rightarrow$ (2)
任意の$x,y$に対し，一般性を失うことなく，$f(y)\leq f(x)$としてよい．${\alpha}\in (0,1)$に対し，$f(x)$は準凸関数なので，
\[
f(x+{\alpha}(y-x))=f({\alpha}y+(1-{\alpha})x)\leq f(x)
\]
従って
\[
f(x+{\alpha}(y-x))-f(x)\leq 0
\]
なので，両辺を${\alpha}$で割り，${\alpha} \downarrow 0$とすればよい．
(1) $\Leftarrow$ (2)
$f(y)\leq f(x)$ならば$\langle \nabla f(x), y-x \rangle \leq 0$を仮定する．
$z={\alpha}y+(1-{\alpha})x$と置く．$f(z)>\max \{f(x),f(y)\}$と仮定して不合理を導く．
$g(t)=f(ty+(1-t)x)$を考える．
$g(t)$は微分可能で，$g^{\prime}(t)=\langle \nabla f(ty+(1-t)x), y-x \rangle $である．
$g(0)=f(x), g(1)=f(y), g({\alpha})=g(z)$であって
仮定より$g({\alpha})> g(0)$なので平均値の定理から，$\exists {\xi}_1 \in (0, {\alpha})$があって，
\[
g^{\prime}({\xi}_1)=\dfrac{g(\alpha)-g(0)}{\alpha}> 0
\]
$x_1={\xi}_1y+(1-{\xi}_1)x$と置くと，
\[
0< \langle \nabla f({\xi}_1y+(1-{\xi}_1)x), y-x \rangle \tag{1}
\]
また仮定より，$g({\alpha})> g(1)$なので平均値の定理から，$\exists {\xi}_2 \in ({\alpha},1)$があって，
\[
g^{\prime}({\xi}_2)=\dfrac{g(1)-g(\alpha)}{1-{\alpha}} < 0
\]
$x_2={\xi}_2y+(1-{\xi}_2)x$と置くと，
\[
0> \langle \nabla f({\xi}_2y+(1-{\xi}_2)x), y-x \rangle \tag{2}
\]
ここで$f(z)\leq f(x_1)$ならば，$\langle \nabla f(x_1), z-x_1 \rangle \leq 0$となるはずだが，
$z-x_1 =({\alpha}-{\xi}_1)(y-x)$なので，
\[
\langle \nabla f(x_1), ({\alpha}-{\xi}_1)(y-x)\rangle \leq 0
\]
となり，(1)に矛盾する．
また$f(z)\leq f(x_2)$ならば，$\langle \nabla f(x_2), z-x_2 \rangle \leq 0$となるはずだが，
$z-x_2 =({\alpha}-{\xi}_2)(y-x)$なので，
\begin{align*}
\langle \nabla f(x_2), ({\alpha}-{\xi}_2)(y-x)\rangle &\leq 0\\
\langle \nabla f(x_2), (y-x)\rangle &\geq 0\
\end{align*}
となり，(2)に矛盾する．
【解答終】
【Further Reading】
福島雅夫『非線形最適化の基礎』 朝倉書店(2001)
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