経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

２期間消費モデルの最適消費：効用関数が$u=c_1c_2$【『経出る』練習問題7.7】

【問】　2期間消費モデルを考える．第１期の所得を $y_1$ ，第２期の所得を $y_2$，利子率を $r$ とする．第１期の消費額を $c_1$，第２期の消費額を $c_2$ とする．効用関数が $u(c_1, c_2)=c_1c_2$ であるとき，効用を最大化する最適消費額を求めなさい．

• ２期間消費モデルで見たように，$2$ 期間を通じた予算制約は \[ c_1+\dfrac{c_2}{1+r}=y_1+\dfrac{y_2}{1+r} \] となる． したがって，解くべき問題は， \begin{align} \max_{c_1>0,c_2>0}& u(c_1,c_2)=c_1c_2\\[2ex] s.t. & c_1+\dfrac{c_2}{1+r}=y_1+\dfrac{y_2}{1+r} \end{align}


• ラグランジュ関数を作ると， \[ {\cal L}(c_1,c_2,\lambda )=c_1c_2+\lambda \left(y_1+\dfrac{y_2}{1+r}- \left(c_1+\dfrac{c_2}{1+r}\right)\right)． \]


• 各変数で偏微分してイコールゼロとおくと， \[ \begin{align} 0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial c_1}=c_2-\lambda \tag{1}\\[2ex] 0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial c_2}=c_1-\dfrac{\lambda}{1+r} \tag{2}\\[2ex] 0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial \lambda}=y_1+\dfrac{y_2}{1+r}- \left(c_1+\dfrac{c_2}{1+r}\right)\tag{3} \end{align} \]


• あとは工夫して解く．$(1)$ から $c_2=\lambda$， $(1)$ から $c_1=\dfrac{\lambda}{1+r}$．これを(3)に代入すると， $\dfrac{\lambda}{1+r}+\dfrac{\lambda}{1+r}=y_1+\dfrac{y_2}{1+r}$となり，$\lambda =\dfrac{(1+r)y_1+y_2}{2}$ を得る．したがって，最適解は \begin{align} c_1&=\dfrac{y_1+\dfrac{y_2}{1+r}}{2}\tag{4}\\[2ex] c_2&=\dfrac{(1+r)y_1+y_2}{2}\tag{5}\\[2ex] \end{align} となる．