経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

２期間消費モデルの最適消費（指数割引モデル）【『経出る』練習問題7.7】

【問】　2期間消費モデルを考える．第１期の所得を $y_1$ ，第２期の所得を $y_2$，利子率を $r$ とする．第１期の消費額を $c_1$，第２期の消費額を $c_2$ とする．効用関数が $u(c_1, c_2)=u(c_1)+{\delta}u(c_2)$ であるとき，ラグランジュ乗数法から $1$ 階条件を求めなさい．

• ２期間消費モデルで見たように，$2$ 期間を通じた予算制約は \[ c_1+\dfrac{c_2}{1+r}=y_1+\dfrac{y_2}{1+r} \] となる． したがって，解くべき問題は， \begin{align} \max_{c_1>0,c_2>0}& u(c_1,c_2)=u(c_1)+{\delta}u(c_2)\\[2ex] s.t. & c_1+\dfrac{c_2}{1+r}=y_1+\dfrac{y_2}{1+r} \end{align}


• ラグランジュ関数を作ると， \[ {\cal L}(c_1,c_2,\lambda )=u(c_1)+{\delta}u(c_2)+\lambda \left(y_1+\dfrac{y_2}{1+r}- \left(c_1+\dfrac{c_2}{1+r}\right)\right)． \]


• 各変数で偏微分してイコールゼロとおくと， \[ \begin{align} 0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial c_1}=u^{\prime}(c_1)-\lambda \tag{1}\\[2ex] 0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial c_2}={\delta}u^{\prime}(c_2)-\dfrac{\lambda}{1+r} \tag{2}\\[2ex] 0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial \lambda}=y_1+\dfrac{y_2}{1+r}- \left(c_1+\dfrac{c_2}{1+r}\right)\tag{3} \end{align} \]


• $(1) \div (2)$ から \begin{align} \dfrac{u^{\prime}(c_1)}{{\delta}u^{\prime}(c_2)}&=1+r\tag{4}\\[2ex] \end{align} となる．この$1$ 階条件　(4) のことをオイラー方程式とよぶ．具体的な消費量を知るためには，$u(c)$ も具体的な形式で与えられる必要がある（例えば『経出る』練習問題7.7では，$u(c)=c^{\frac{1}{2}}$ として解いている）．