経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
対称行列の固有値と関連する最大化問題
【問】
実対称行列$A$に対して，次の最大化問題を考える．
\begin{align}
\begin{split}
最大化 & x^{\top}Ax \\
条件 & x^{\top}x=1
\end{split}\tag{P}
\end{align}
このとき，$\max \{x^{\top}Ax \mid x^{\top}x=1\}$は$A$の（実）最大固有値である．
【解答】
$x$を(P)の最適解とする．このときLagrangean
\[
{\cal L}(x,{\lambda})=x^{\top}Ax+{\lambda}(1-x^{\top}x)
\]
に対し，最適性の必要条件から，$\exists {\lambda}$ s.t.
\[
0=\dfrac{\partial {\cal L}}{\partial x}=2(Ax-{\lambda}x).
\]
$x^{\top}x=1$なので$x\neq 0$．したがってこの${\lambda}$は$A$の固有値である．
一方，$\forall {\mu}, y $ s.t. $y^{\top}y=1, Ay={\mu}y$に対して，
\[
\max \{x^{\top}Ax \mid x^{\top}x=1\}\geq y^{\top}A={\mu}y^{\top}y={\mu}
\]
なので，この${\lambda}$が$A$の最大固有値である．
【解答終】
【メモ】
$A$は実対象行列なのだから，全ての固有値は実数である．
【Further Reading】
R.A. Horn and C.R. Johnson, Matrix analysis, second edition, Cambridge University Press (2013)
ふろく（２）応用問題 一覧へ