経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
有効フロンティアは凸関数
$\boldsymbol{1}=
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
\vdots\\
1\\
\end{pmatrix}
$
を単位ベクトル，
$\boldsymbol{r}=
\begin{pmatrix}
r_1\\
r_2\\
\vdots\\
r_n\\
\end{pmatrix}
$
を利得ベクトル，
$
C
=\begin{pmatrix}
{\sigma}^2_{1} & {\sigma}_{12} & \cdots & {\sigma}_{12}\\
{\sigma}_{21} & {\sigma}^2_{2} & \cdots & {\sigma}_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{\sigma}_{n1} & {\sigma}_{n2} & \cdots & {\sigma}^2_{n}
\end{pmatrix}
$
を分散共分散行列，
$\boldsymbol{x}=
\begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n\\
\end{pmatrix}
$，
$\boldsymbol{y}=
\begin{pmatrix}
y_1\\
y_2\\
\vdots\\
y_n\\
\end{pmatrix}
$
を変数ベクトルとし，関数
\[
{\sigma}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\prime}C\boldsymbol{x}
\]
を考える．行列演算の練習をしてみよう．
【問】 $\sqrt{{\sigma}(\boldsymbol{x})}$は凸関数となることを示しなさい．
【解答】
【Step 1】
$\Bigl(\boldsymbol{x}^{\prime}C\boldsymbol{y}\Bigr)^2
\leq
\boldsymbol{x}^{\prime}C\boldsymbol{x}\cdot
\boldsymbol{y}^{\prime}C\boldsymbol{y}$である．
実際，分散共分散行列の非負定値性から，$t$に対し，$0\leq
(\boldsymbol{x}-t\boldsymbol{y})^{\prime}C
(\boldsymbol{x}-t\boldsymbol{y})$である．
$t=\dfrac{\boldsymbol{x}^{\prime}C\boldsymbol{y}}
{\boldsymbol{y}^{\prime}C\boldsymbol{y}}$，
\begin{align}
(\boldsymbol{x}-t\boldsymbol{y})^{\prime}C
(\boldsymbol{x}-t\boldsymbol{y})&=
\boldsymbol{x}^{\prime}C\boldsymbol{x}
-2t\boldsymbol{x}^{\prime}C\boldsymbol{y}
+t^2\boldsymbol{y}^{\prime}C\boldsymbol{y}\\
&=\boldsymbol{x}^{\prime}C\boldsymbol{x}
-2\dfrac{\bigl(\boldsymbol{x}^{\prime}C\boldsymbol{y}\bigr)^2}
{\boldsymbol{y}^{\prime}C\boldsymbol{y}}
+\dfrac{\bigl(\boldsymbol{x}^{\prime}C\boldsymbol{y}\bigr)^2}
{\boldsymbol{y}^{\prime}C\boldsymbol{y}}\\
&=\dfrac{1}{\boldsymbol{y}^{\prime}C\boldsymbol{y}}
\Bigl(\boldsymbol{x}^{\prime}C\boldsymbol{y}\cdot\boldsymbol{y}^{\prime}C\boldsymbol{x}
-\bigl(\boldsymbol{x}^{\prime}C\boldsymbol{y}\bigr)^2\Bigr)
\end{align}
となるので主張が示された．
【Step 2】
$\sqrt{{\sigma}(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})}
\leq \sqrt{{\sigma}(\boldsymbol{x})}
+\sqrt{{\sigma}(\boldsymbol{y})}$である．
実際Step1の結果を使えば，
\begin{align}
{\sigma}(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})&=
(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})^{\prime}C
(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})\\
&=\boldsymbol{x}^{\prime}C\boldsymbol{x}
+2\boldsymbol{x}^{\prime}C\boldsymbol{y}
+\boldsymbol{y}^{\prime}C\boldsymbol{y}\\
&\leq {\sigma}(\boldsymbol{x})+{\sigma}(\boldsymbol{y})
+2\sqrt{{\sigma}(\boldsymbol{x}){\sigma}(\boldsymbol{y})}\\
&=\bigl(\sqrt{{\sigma}(\boldsymbol{x})}
+\sqrt{{\sigma}(\boldsymbol{y})}\bigr)^2
\end{align}
が言えて，主張が示された．
【Step 3】$\sqrt{{\sigma}(\boldsymbol{x})}$が凸関数であることは，
$\lambda > 0$に対し，明らかに
$\sqrt{{\sigma}(\lambda\boldsymbol{x})}
=\lambda\sqrt{{\sigma}(\boldsymbol{x})}$が成立することと，Step2の結果に従う．
【解答終】
有効フロンティア
\[
g(\rho )=\min \bigl\{\sqrt{{\sigma}(\boldsymbol{x})} \mid
\boldsymbol{r}^{\prime}\boldsymbol{x}=\rho,
\boldsymbol{1}^{\prime}\boldsymbol{x}=1, \boldsymbol{x}\geq 0
\bigr\}
\]
は，凸関数になることを示しなさい．
【解答】
$X(\rho )=\bigl\{x \mid \boldsymbol{r}^{\prime}\boldsymbol{x}=\rho,
\boldsymbol{1}^{\prime}\boldsymbol{x}=1, \boldsymbol{x}\geq 0
\bigr\}$とおく．$g(\rho )=\min \bigl\{\sqrt{{\sigma}(\boldsymbol{x})} \mid
x\in X({\rho})\bigr\}$となる．いま，$\boldsymbol{x_1}\in X({\rho}_1)$，
$\boldsymbol{x_2}\in X({\rho}_2)$，$1\leq \lambda \leq 1$とすると，
\begin{align}
\boldsymbol{r}^{\prime}
\bigl( \lambda \boldsymbol{x_1}+(1-\lambda )\boldsymbol{x_2} \bigr)
&=\lambda \boldsymbol{r}^{\prime}\boldsymbol{x_1}+
(1-\lambda )\boldsymbol{r}^{\prime}\boldsymbol{x_2}
=\lambda {\rho}_1+(1-\lambda ){\rho}_2\\
\boldsymbol{1}^{\prime}
\bigl( \lambda \boldsymbol{x_1}+(1-\lambda )\boldsymbol{x_2} \bigr)
&=\lambda \boldsymbol{1}^{\prime}\boldsymbol{x_1}+
(1-\lambda )\boldsymbol{1}^{\prime}\boldsymbol{x_2}
=\lambda +(1-\lambda )=1\\
\lambda \boldsymbol{x_1}+(1-\lambda )\boldsymbol{x_2}
&\geq 0
\end{align}
より，
\[
\lambda \boldsymbol{x_1}+(1-\lambda )\boldsymbol{x_2}
\in X(\lambda {\rho}_1+(1-\lambda ){\rho}_2)
\]
となる．したがって，
\begin{align}
g(\lambda {\rho}_1+(1-\lambda ){\rho}_2)&=
\min \bigl\{\sqrt{{\sigma}(\boldsymbol{x})} \mid
\boldsymbol{x}\in X(\lambda {\rho}_1+(1-\lambda ){\rho}_2)\bigr\}\\
&\leq \min \bigl\{\sqrt{{\sigma}(\lambda \boldsymbol{x_1}+(1-\lambda )\boldsymbol{x_2})} \mid
\boldsymbol{x_1}\in X({\rho}_1),
\boldsymbol{x_2}\in X({\rho}_2)\bigr\}\\
&\leq \min \bigl\{\lambda \sqrt{{\sigma}(\boldsymbol{x_1}})+
(1-\lambda )\sqrt{{\sigma}(\boldsymbol{x_2}})\mid
\boldsymbol{x_1}\in X({\rho}_1),
\boldsymbol{x_2}\in X({\rho}_2)\bigr\}\\
&=\lambda\min \bigl\{ \sqrt{{\sigma}(\boldsymbol{x_1}}))\mid
\boldsymbol{x_1}\in X({\rho}_1)\bigr\}
+(1-\lambda )\min \bigl\{ \sqrt{{\sigma}(\boldsymbol{x_2}}))\mid
\boldsymbol{x_2}\in X({\rho}_2)\bigr\}\\
&=\lambda g({\rho}_1)+(1-\lambda )g({\rho}_2)．
\end{align}
【解答終】
【Further Reading】
今野浩『理財工学Ｉ』日科技連（1995）
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