経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
イミュニゼーション
ここと，ここを読んでから．
【問】 債券$B_1$の価格を$P_1$，デュレーションを$D_1$とし，
債券$B_2$の価格を$P_2$，デュレーションを$D_1$とする．
投資期間を$n$年間として，どのようなポートフォリオを組めばよいか．求めなさい．
【解答】
連立方程式，
\begin{align*}
\dfrac{w_1P_1D_1+w_2P_2D_2}{w_1P_1+w_2P_2}&=n\\
w_1+w_2&=1
\end{align*}
を解けばよい．
\[
w_1P_1D_1+w_2P_2D_2=n(w_1P_1+w_2P_2)
\]
に，$w_2=1-w_1$を使うと，
\begin{align*}
w_1P_1D_1+(1-w_1)P_2D_2&=n\Bigl(w_1P_1+(1-w_1)P_2\Bigr)\\
w_1\Bigl(P_1D_1-P_2D_2-n(P_1-P_2)\Bigr)&=P_2(n-D_2)\\
\end{align*}
従って，
\begin{align*}
w_1&=\dfrac{P_2(n-D_2)}{P_1D_1-P_2D_2-n(P_1-P_2)}\\
&=\dfrac{P_2(n-D_2)}{P_1(D_1-n)+P_2(n-D_2)}，\\
w_2&=1-w_1\\
&=\dfrac{P_1D_1-P_2D_2-n(P_1-P_2)-P_2(n-D_2)}{P_1D_1-P_2D_2-n(P_1-P_2)}\\
&=\dfrac{P_1(D_1-n)}{P_1D_1-P_2D_2-n(P_1-P_2)}\\
&=\dfrac{P_1(D_1-n)}{P_1(D_1-n)+P_2(n-D_2)}．
\end{align*}
【解答終】
【メモ】
投資期間$n$と，デュレーション$D$をポートフォリオによって一致させる投資戦略をイミュニゼーションという．ここも参照．
$D_1 > n > D_2$ならば，$w_1 > 0, w_2 > 0$となる．すなわち，うまくポートフォリオを組むためには運用年数より，デュレーションが長い債券と，短い債券で組めばよい．
【メモ終】
【Further Reading】 青沼・岩城『EXCELで学ぶファイナンス３ 債券・金利・為替』きんざい（平成14年）
デービッド・Ｇ・ルーエンバーガー『金融工学入門』日本経済新聞社（2002）
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