経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
Cobb-Douglas費用関数に対するAC曲線の形状
【問】 ${\alpha} < 1$とする．Cobb-Douglas費用関数を考える．
\[
c(y)=Ky^{\frac{1}{\alpha}}+F
\]
(1) $AC^{\prime}(y*)=0$となる点を求めなさい．
(2) $y< y^*$で単調減少．$y>y^*$で単調増加となることを示しなさい．
【解答】
(1)
\[
AC(y)=\dfrac{c(y)}{y}=Ky^{\frac{1}{\alpha}-1}+\dfrac{F}{y}
\]
なので
\[
AC^{\prime}(y)=({\dfrac{1}{\alpha}-1})Ky^{\frac{1}{\alpha}-2}-\dfrac{F}{y^2}=0
\]
を解いて，
\[
y^*=\Biggl(\dfrac{F}{K({\dfrac{1}{\alpha}-1})}\Biggr)^{\alpha}
\]
(2)
\[
AC^{\prime}(y)=\dfrac{1}{y^2}({\dfrac{1}{\alpha}-1})Ky^{\frac{1}{\alpha}}-F=\dfrac{1}{y^2}\Bigl(({\dfrac{1}{\alpha}-1})Ky^{\frac{1}{\alpha}}-F\Bigr)
\]
で${\alpha} < 1$より，
\[
({\dfrac{1}{\alpha}-1})Ky^{\frac{1}{\alpha}}
\]
が$y$の単調増加関数であることから明らか．
【解答終】
【メモ】
$y< y^*$で$AC^{\prime}\leq 0$なので，
\[
\dfrac{yc^{\prime}-c(y)}{y^2}\leq 0 \Rightarrow c^{\prime}(y)\leq \dfrac{c(y)}{y}
\]
$y> y^*$で$AC^{\prime}\geq 0$なので，
\[
\dfrac{yc^{\prime}-c(y)}{y^2}\geq 0 \Rightarrow c^{\prime}(y)\geq \dfrac{c(y)}{y}
\]
従って，
\[
c^{\prime}(y^*)=\dfrac{c(y^*)}{y^*}
\]
となり，平均費用と限界費用が一致する．参考
【メモ終】
【Further Reading】
Hal R. Varian ‘Microeconomic Analysis; Third Edition,’ W.W.Norton & Company (1992)
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