経済学で出る数学
ワークブックでじっくり攻める：応用問題
準凸関数とinvex関数
$\nabla f(x)=0$（停留点）ならば，$x$が大域的最小解となる関数を，invex関数という．
特に定義より，停留点を持たない関数もinvex関数である．
【問】
Invex関数であるが，準凸関数でない関数の例を与えなさい
【解答】
(1) $x>0$に対し，$f(x)=x^2+\dfrac{1}{x}$とすると，$f(x)$はinvexであるが，準凸関数ではない．
実際，
\[
f^{\prime}(x)=2x-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{2x^3-1}{x^2}
=\dfrac{2\Bigl(x-\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}}\Bigr)\Bigl(x^2+\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}}x+\sqrt[3]{\dfrac{1}{2^2}}\Bigr)}{x^2}
\]
ここで
\[
x^2+\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}}x+\sqrt[3]{\dfrac{1}{2^2}}=
\Bigl(x-\dfrac{1}{2}\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}}\Bigr)^2+\dfrac{3}{4}\sqrt[3]{\dfrac{1}{2^2}}>0
\]
なので$f(x)$の唯一の停留点は$x=\sqrt[3]{\dfrac{1}{2}}$であり，この点で最小であるのでinvexである．
一方，$x=\dfrac{1}{2}, y=2$に対し，$z=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}y=\dfrac{5}{4}$とすると，
$f(x)=\dfrac{1}{4}+2=\dfrac{9}{4}=2.25$, $f(y)=4+\dfrac{1}{2}=\dfrac{9}{2}=4.5$,
$ f(z)=\dfrac{25}{16}+\dfrac{4}{5}=\dfrac{189}{30}=6.3$
となり，$f(z)>\max\{f(x),f(y)\}$となって準凸関数ではない．
(2) $f(x_1,x_2)=x_1^3+x_1-10x_2^3-x_2$を考える．
\begin{align*}
\dfrac{\partial f}{\partial x_1}&=3x_1^2+1 >0\\
\dfrac{\partial f}{\partial x_2}&=-30x_2^2-1 <0
\end{align*}
だから停留点はないのでこの関数はinvexである．
一方，$y=(2,1)$, $x=(0,0)$に対し，$f(y)=f(2,1)=-21$, $f(x)=f(0,0)=0$なので，
$f(y)\leq f(x)$であるが，
\[
\langle \nabla f(x), y-x \rangle =1\cdot 2 -1\cdot 1 >0
\]
となり，準凸関数の特徴づけに反する．
準凸でないことは次のように直接確かめることもできる．
$z=\dfrac{1}{4}y+\dfrac{3}{4}x=(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4})$とすると，
$f(z)=\dfrac{7}{32} > \max\{f(x), f(y)\}$となる．
【解答終】
【Further Reading】
Mishra S. K. And Giorgi G. ‘Invexity and Optimization’, Springer(2008)
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