経済学で出る数学

ワークブックでじっくり攻める：応用問題

２期間消費モデルの最適消費：効用関数が$u=\log_{}{c_1}+{\delta}\log_{}{c_2}$【『経出る』練習問題7.7解説】

【『経出る』練習問題7.7解説】の解説にあるように，　2期間消費モデルの効用関数を $u(c_1, c_2)=c_1c_2$ 積の形から単調増加関数 $\log_{}{}$ を施した形でも，同一の答が出るはず．本問ではさらに将来消費の寄与分を割り引くケースとして，効用関数が $u=\log_{}{c_1}+{\delta}\log_{}{c_2}$ のケースを扱う．

【問】　2期間消費モデルを考える．第１期の所得を $y_1$ ，第２期の所得を $y_2$，利子率を $r$ とする．第１期の消費額を $c_1$，第２期の消費額を $c_2$ とする．効用関数が $u(c_1, c_2)=\log_{}{c_1}+{\delta}\log_{}{c_2}$ であるとき，効用を最大化する最適消費額を求めなさい．

• 【問】２期間消費モデルのときとも，【問】２期間消費モデルの最適消費：効用関数が$u=c_1c_2$のときとも同様に，$2$ 期間を通じた予算制約は \[ c_1+\dfrac{c_2}{1+r}=y_1+\dfrac{y_2}{1+r} \] となる． したがって，解くべき問題は， \begin{align} \max_{c_1>0,c_2>0}& u(c_1,c_2)=\log_{}{c_1}+{\delta}\log_{}{c_2}\\[2ex] s.t. & c_1+\dfrac{c_2}{1+r}=y_1+\dfrac{y_2}{1+r} \end{align}


• ラグランジュ関数を作ると， \[ {\cal L}(c_1,c_2,\lambda )=\log_{}{c_1}+{\delta}\log_{}{c_2}+\lambda \left(y_1+\dfrac{y_2}{1+r}- \left(c_1+\dfrac{c_2}{1+r}\right)\right)． \]


• 各変数で偏微分してイコールゼロとおくと， \[ \begin{align} 0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial c_1}=\frac{1}{c_1}-\lambda \tag{1}\\[2ex] 0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial c_2}=\frac{\delta}{c_2}-\dfrac{\lambda}{1+r} \tag{2}\\[2ex] 0=&\dfrac{\partial \cal L}{\partial \lambda}=y_1+\dfrac{y_2}{1+r}- \left(c_1+\dfrac{c_2}{1+r}\right)\tag{3} \end{align} \]


• あとは工夫して解く．$(1)$ から $c_1=\dfrac{1}{\lambda}$， $(1)$ から $c_2=\dfrac{\delta(1+r)}{\lambda}$．これを(3)に代入すると， $\dfrac{1}{\lambda}+\dfrac{\delta}{\lambda}=y_1+\dfrac{y_2}{1+r}$となり，$\dfrac{1}{\lambda} =\dfrac{1}{1+\delta}\left(y_1+\dfrac{y_2}{1+r}\right)$ を得る．したがって，最適解は \begin{align} c_1&=\dfrac{1}{\lambda} =\dfrac{1}{1+\delta}\left(y_1+\dfrac{y_2}{1+r}\right)\tag{4}\\[2ex] c_2&=\dfrac{\delta (1+r)}{\lambda} =\dfrac{\delta (1+r)}{1+\delta}\left(y_1+\dfrac{y_2}{1+r}\right)\tag{5}\\[2ex] \end{align} となる．

• $\delta > \dfrac{1}{1+r}$ の場合：$\delta (1+r) > 1$ なので $c_2 > c_1$：将来消費を大きくする


• $\delta < \dfrac{1}{1+r}$ の場合：$\delta (1+r) < 1$ なので $c_2 < c_1$：現在消費を大きくする